МІНІСТЕРСТВО ОСТВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ
НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Інструкція до лабораторної роботи № 1
з курсу: "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів спеціальності 6.1601
"Інформаційна безпека"
Затверджено
на засіданні кафедри
«Захист інформації»
Протокол № __ від...
Львів – 2007
Методи уточнення коренів нелінійних рівнянь: Інструкція до лабораторної роботи №1 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" /Укл.: Л.В. Мороз, З.М. Стрілецький, В.М. Іванюк - Львів: НУ “ЛП”, 2007.- 16 с.
Укладачі: Леонід Васильович Мороз, к.т.н., доц.
Зеновій Михайлович Стрілецький, к.т.н., доц.
Віталій Миколайович Іванюк, асист.
Відповідальний за випуск: І.Я. Тишик, ст.вик.
Рецензенти: В.Б. Дудикевич, д.т.н., проф.,
В.В. Хома, д.т.н., проф.
Мета роботи – ознайомлення з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим.
ВСТУП
Нехай задане рівняння
, (1)
де – неперервна функція, визначена на проміжку і має різні знаки на кінцях цього проміжку, тобто виконується умова
(2)
Крім того, та – неперервні і зберігають знак на проміжку . Необхідно знайти корінь рівняння (1) із заданою граничною абсолютною похибкою Е.
Поширеним методом розв’язку цієї задачі є метод поділу проміжку навпіл, метод хорд, метод Ньютона (дотичних), комбінований метод хорд та дотичних, метод простої ітерації, метод Ейткена–Стефенсона і метод Стефенсона.
МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Метод поділу проміжку навпіл
Цей метод є простим і надійним алгоритмом знаходження коренів рівняння (1).
Суть методу полягає в тому, що відрізок ділиться навпіл, тобто вибирається перше наближення кореня /рис.1/.
(3)
Якщо , тоді є коренем рівняння (1).
Рис.1.
Якщо , то вибирають той з відрізків чи , на кінцях якого функція має різні знаки. Одержаний відрізок знову ділять навпіл і т.д. Процес обчислень проводиться доти, доки величина відрізку не стане меншою від заданої похибки Е.
Метод досить стійкий до похибок заокруглень. Але й збігається теж повільно. При збільшенні точності значно зростає об’єм обчислень. Тому на практиці метод часто використовують для грубого визначення початкового наближення до кореня, а пізніше застосовують швидко збіжний ітераційний метод.
Алгоритм методу половинного ділення.
Задати значення параметрів а, b та граничної абсолютної похибки Е .
Обчислити значення функцій в точці а, тобто обчислити .
Поділити проміжок навпіл, тобто знайти точку
.
Перевірити умову ? Якщо так, то перейти до п.7.
Якщо добуток , то , в протилежному випадку .
Якщо , то перейти до п.3.
Надрукувати (вивести) значення .
Закінчити виконання програми.
Значення Е задається в межах 10 –4(10 –6.
Метод хорд
Цей метод забезпечує швидшу збіжність, ніж метод поділу проміжку навпіл. Ідея методу полягає в тому, що на достатньо малому проміжку функція змінюється лінійно і тому дуга кривої замінюється хордою, яка її стягує. За наближене значення кореня можна прийняти точку перетину хорди з віссю абсцис (точка А на рис.2)
Рис.2
Рівняння прямої, яка проходить через точки і :
Точка А є наближеним коренем , яка була знайдена з рівняння прямої, якщо покласти , тоді :
(4)
Якщо значення кореня нас не задовольняють, його можна уточнити, застосувавши метод хорд до відрізку .
(5)
Ітераційна формула методу хорд
За наведеними формулами обчислюють корені і тоді, коли ; ; ; , тобто, коли .
У випадку, коли перша і друга похідні мають різні знаки, тобто ,то ітераційна формула має вигляд
(6)
Зауважимо, що формули (5) та (6) тотожні.
Обчислення виконуються доти, доки відмінність між двома послідовно обчисленими значеннями i не будуть меншими за Е
(7)
де Е – задана гранична абсолютна похибка.
Алгоритм методу хорд
Метод Ньютона
Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, широко використовується при побудові іте...